Question

19．一個多面體的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）如圖所示，其中M、N分別是AF、BC的中點，
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求點B到平面MNF的距離．

Answer 1

分析 由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）取BF的中點P，連接MP，NP．又M，N分別為AF，BC的中點．利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可證明MN∥平面CDEF．
（2）利用等體積法，求點B到平面MNF的距離．

解答 （1）證明：由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE．
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為4的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
取BF的中點P，連接MP，NP．
又M，N分別為AF，BC的中點．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）解：△MNF中，NM⊥MF，MF=2$\sqrt{2}$，MN=$\sqrt{16+4-8}$=2$\sqrt{3}$，S_△MNF=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，
設(shè)點B到平面MNF的距離為h，則$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$，∴h=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查等體積方法的運(yùn)用，屬于中檔題．