Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}$，（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的普通方程和極坐標(biāo)方程；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程是$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$，射線OM：θ=$\frac{π}{6}$與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin²φ+cos²φ=1消去直線l的參數(shù)可得普通方程；又x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標(biāo)方程；
（2）由題意得$θ=\frac{π}{6}$，由極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ得${ρ_1}=\sqrt{3}$，由直線的極坐標(biāo)方程$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$得${ρ_2}=3\sqrt{3}$
利用極坐標(biāo)方程幾何意義可得線段PQ的長(zhǎng)．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}$，（φ為參數(shù)），
則cosφ=x-1，sinφ=y，
∵sin²φ+cos²φ=1，可得（x-1）²+y²=1，
即圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1，
又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ；
（2）由題意得$θ=\frac{π}{6}$，由極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，得${ρ_1}=\sqrt{3}$，
由直線的極坐標(biāo)方程$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=6\sqrt{3}$，得${ρ_2}=3\sqrt{3}$
極坐標(biāo)方程幾何意義可得線段PQ的長(zhǎng)：$PQ=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系．