【題目】如圖,菱形的邊長(zhǎng)為,,與交于點(diǎn).將菱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),.
(I)求證:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用菱形的性質(zhì)與勾股定理推出平面,從而利用面面垂直的判定求證即可;(Ⅱ)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,然后求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量,從而求得平面與的法向量,進(jìn)而利用空間夾角公式求解即可.
(Ⅰ)證明:是菱形,
,
中,,
又是中點(diǎn),
面面
又 平面
平面⊥平面
(Ⅱ)由題意, , 又由(Ⅰ)知 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,由條件易知
故 設(shè)平面的法向量,則
即 令,則
所以,
由條件易證平面,故取其法向量為
所以,
由圖知二面角為銳二面角,故其余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ(ρ﹣2sinθ)=1.
(1)求C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與y軸相交于P,與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且|PA|+|PB|=2,求點(diǎn)O到直線l的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ.
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與x軸的交點(diǎn)為F,直線l與曲線C的交點(diǎn)為A、B,求|FA|+|FB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),直線的極坐標(biāo)方程為,它與曲線的交點(diǎn)為,,與曲線的交點(diǎn)為,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿x軸正向滾動(dòng),先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)B落在x軸時(shí),又以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),如此下去,設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的曲線方程為,則下列說(shuō)法不正確的是
A.恒成立B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)=f()+1(k∈R,k≠0),則下列關(guān)于函數(shù)y=f[g(x)]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是( )
A.當(dāng)k>0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k<0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)k>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k<0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)
C.無(wú)論k為何值,均有2個(gè)零點(diǎn)
D.無(wú)論k為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2011年國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié),來(lái)源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。公元263年,中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率,計(jì)算到圓內(nèi)接3072邊形的面積,得到的圓周率是.公元480年左右,南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果,給出不足近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927,還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值,密率和約率。大約在公元530年,印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多算出圓周率約為().在這4個(gè)圓周率的近似值中,最接近真實(shí)值的是( )
A.B.C.D.
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