20.設(shè)min$\left\{{x,y}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{y,x≥y}\\{x,x<y}\end{array}}$,若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)+g(x)=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$,則min{f(x),g(x)}的最大值為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\sqrt{2}$

分析 討論當(dāng)f(x)≥g(x)時(shí),當(dāng)f(x)<g(x)時(shí),求得min{f(x),g(x)},結(jié)合條件運(yùn)用基本不等式,即可得到所求最大值.

解答 解:當(dāng)f(x)≥g(x)時(shí),min{f(x),g(x)}=g(x),
f(x)+g(x)=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$≥2g(x),
即g(x)≤$\frac{x}{1+{x}^{2}}$,
顯然x>0時(shí),$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值,
由$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$,
可得g(x)的最大值為$\frac{1}{2}$;
當(dāng)f(x)<g(x)時(shí),min{f(x),g(x)}=f(x),
f(x)+g(x)=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$>2f(x),
即f(x)<$\frac{x}{1+{x}^{2}}$,
顯然x>0時(shí),$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值,
同上可得f(x)<$\frac{1}{2}$.
綜上可得,min{f(x),g(x)}的最大值為$\frac{1}{2}$.
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.在矩形ABCD中,$\overrightarrow{AB}=({1,-3}),\overrightarrow{AC}=({k,-2})$,則實(shí)數(shù)k=(  )
A.-5B.-4C.$\frac{2}{3}$D.4

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11.已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|,|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|,則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為( 。
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{4}$

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8.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=$\frac{1}{2}$,過F2作x軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),△F1AB的面積為3,拋物線E:y2=2px(p>0)以橢圓C的右焦點(diǎn)F2為焦點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線E的方程;
(Ⅱ)如圖,點(diǎn)$P({-\frac{P}{2},t})({t≠0})$為拋物線E的準(zhǔn)線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,連接PO并延長交拋物線于點(diǎn)N,求證:直線MN過定點(diǎn).

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15.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1,$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,則向量$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$在向量-$\overrightarrow{a}$方向上的投影為( 。
A.0B.1C.2D.-1

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5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$(m,n為常數(shù))是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(-1)=-$\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解關(guān)于x的不等式f(2x-1)<-f(x).

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1.如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的兩射線l1,l2的夾角為30°,點(diǎn)P先關(guān)于射線l1所在直線對稱,再關(guān)于射線l2所在直線對稱后,得到點(diǎn)Q,記為S(P)=Q,并設(shè)S0(P)=S(P),Sn(P)=S(Sn-1(P)),n∈N*.若點(diǎn)P為角α的終邊上一點(diǎn)(非原點(diǎn)),并記T(P)=sinα,則下列說法錯(cuò)誤的是(  )
A.對任意的點(diǎn)P,都有T(S6(P))=T(P)
B.至少存在4個(gè)單位圓上的P,使得T(S3(P))=T(P)
C.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則有T(S(P))=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.對任意的點(diǎn)P,都有T(P)+T(S2(P))+T(S4(P))=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$,都有an+1=$\frac{1}{3}$an3+$\frac{2}{3}$an,n∈N*
(1)求證:$\frac{1}{2}$•($\frac{2}{3}$)n-1≤an≤$\frac{1}{2}$•($\frac{3}{4}$)n-1,n∈N*
(2)求證:當(dāng)n∈N*時(shí),$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$≥$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+6[1-($\frac{11}{12}$)n].

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19.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,四面體S-ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是S(1,1,2),A(3,3,2),B(3,3,0),C(1,3,2),則該四面體外接球的表面積是( 。
A.16πB.12πC.4$\sqrt{3}$πD.

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