Question

2．已知f（x）=ax³-xlnx，若?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{e}{6}，+∞）$．

Answer 1

分析 ?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立?$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，即函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．可得f′（x）=3ax²-lnx-1≥0，在x∈（0，+∞）上恒成立．即3a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$=g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立，
?$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f′（x）=3ax²-lnx-1≥0，在x∈（0，+∞）上恒成立．
即3a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$=g（x），
g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-2x（lnx+1）}{{x}^{4}}$=$\frac{-（1+2lnx）}{{x}^{3}}$．
可知：x=$\frac{1}{\;}\sqrt{e}$時(shí)，g（x）極大值即最大值，g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{e}{2}$．
∴3a≥$\frac{e}{2}$，解得a≥$\frac{e}{6}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{e}{6}，+∞）$．
故答案為：$[\frac{e}{6}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式與付出的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．