Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣3|+x+1．

（1）求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的最小值為1（2）（0，+∞）

【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，分段研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，2x≥2，所以f（2x）＜4x+2a即為32x﹣2＜4x+2a，即2a＞32x﹣2﹣4x，利用換元，令t＝2x，t≥2，式子可轉(zhuǎn)化為2a＞﹣t2+3t﹣2，利用最值求得結(jié)果.

（1）當(dāng)x時(shí)，f（x）＝3x﹣2，f（x）遞增，可得f（x）≥1；

當(dāng)x時(shí)，f（x）＝4﹣x，f（x）遞減，可得f（x），

則f（x）的最小值為1；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，

可得2x≥2，f（2x）＜4x+2a即為32x﹣2＜4x+2a，

即2a＞32x﹣2﹣4x，令t＝2x，t≥2，可得2a＞﹣t2+3t﹣2，

設(shè)g（t）＝﹣t2+3t﹣2，t≥2，可得g（t）在[2，+∞）遞減，g（t）的最大值為g（2）＝﹣4+6﹣2＝0，

可得2a＞0，即a＞0，

則a的取值范圍是（0，+∞）．