Question

20．已知函數(shù)$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$（ω＞0，x∈R），且f（x）在y軸右側(cè)的第一個(gè)最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若α∈[0，π]，且f（α）=-1，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2ωx-$\frac{2π}{3}$），再結(jié)合正弦函數(shù)最小值的結(jié)論，解關(guān)于ω的方程，即可得ω的值，由此求得函數(shù)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)圖象求單調(diào)減區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據(jù)α的取值范圍和已知條件f（α）=-1得到$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，由此求得a的值．

解答 解（Ⅰ）$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$=$4（-\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx）sinωx-\sqrt{3}$=$-2sinωxcosωx+2\sqrt{3}{sin^2}ωx-\sqrt{3}=-sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx=2sin（2ωx-\frac{2π}{3}）$．
∵f（x）在y軸右側(cè)的第一個(gè)最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$，
∴$2ω×\frac{π}{12}-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{2}$，得ω=1
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{2π}{3}）$，當(dāng)$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即x∈$[kπ+\frac{7π}{12}，kπ+\frac{13π}{12}]，k∈Z$時(shí)單調(diào)遞減；
（Ⅱ）α∈[0，π]可得$2α-\frac{2π}{3}∈[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，因?yàn)?f（α）=-\frac{1}{2}$，所以$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，
所以$α=\frac{π}{4}$或$\frac{11π}{12}$．

點(diǎn)評 本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．