Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，其中a≠0．若f（x）=0，則x=1；若方程f（f（x））=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)式，可得lgx=0，可得x=1；令t=f（x），可得f（t）=0，解得t=1，討論x的范圍，解方程可得x=10，而1+a＞0，且a≠0．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≠0；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lgx=0，解得x=1；
令t=f（x），由f（f（x））=0，即為f（t）=0，
解得t=1，
由f（x）=1有唯一解，
若x≤0時(shí)，$\frac{a}{x-1}$=1，解得x=1+a；
若x＞0時(shí)，lgx=1，解得x=10．
由方程有唯一解，可得1+a＞0，且a≠0．
即有-1＜a＜0或a＞0．
故答案為：1，（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解方程，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及轉(zhuǎn)化思想，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．