Question

5．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若OA⊥OB，求證直線AB過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)AB：x=ty+m，與拋物線方程聯(lián)立，利用OA⊥OB，求出m，即可證明直線AB過(guò)定點(diǎn)．

解答 （1）解：依題意知$\frac{p}{2}=1$，p=2，拋物線方程為y²=4x．…4'
（2）證明：依題意知，設(shè)AB：x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂y₂）…5'
由OA⊥OB，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0…（1）$…6'
$由\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=ty+m}\end{array}}\right.，則{y^2}-4ty-4m=0$，…7'
∴${y_1}{y_2}=-4m，{x_1}{x_2}=\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}={m^2}$…8'
代入（1）式，得m²-4m=0，∴m=0或4．…9'
∵A，B是拋物線上異于O的兩點(diǎn)，∴m=0不合題意．
因此m=4．∴AB：x=ty+4，∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（4，0）．…10'

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．