Question

3．如圖1，棱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將棱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，$DM=3\sqrt{2}$．

（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出OM是△ABC的中位線，從而OM∥AB，由此能證明OM∥平面ABD．
（Ⅱ）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)O是棱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，所以O(shè)M∥AB，
因?yàn)镺M?平面ABD，AB?平面ABD
所以O(shè)M∥平面ABD．
解：（Ⅱ）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由題意，OM=OD=3
因?yàn)?DM=3\sqrt{2}$，所以∠DOM=90°，OD⊥OM，
又因?yàn)槔庑蜛BCD，所以O(shè)D⊥AC．
因?yàn)镺M∩AC=O，所以O(shè)D⊥平面ABC
即OD⊥平面ABM
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABM的高，
△ABM的面積為${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}BA×BM×sin{120^0}=\frac{1}{2}×6×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
所求體積${V_{M-ABD}}={V_{D-ABM}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABM}}×OD=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．