Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²（a∈R）在$x=-\frac{4}{3}$處取得極值
（1）確定a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-$\frac{4}{3}$）=0，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2x，
若f（x）在$x=-\frac{4}{3}$處取得極值，
則f′（-$\frac{4}{3}$）=3a•$\frac{16}{9}$+2•（-$\frac{4}{3}$）=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x³+x²，
f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+2x=x（$\frac{3}{2}$x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{4}{3}$＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{4}{3}$）遞增，在（-$\frac{4}{3}$，0）遞減，在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值的意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．