分析 (1)當(dāng)a=-1時(shí),作出函數(shù)f(x)=x2+2x|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x,x<-1}\\{{3x}^{2}+2x,x≥-1}\end{array}\right.$ 的圖象.
(Ⅱ)由題意,對(duì)任意x∈[1,2],只需[f(x)+x]max<14.分類(lèi)討論求得[f(x)+x]max ,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),作出函數(shù)f(x)=x2+2x|x-a|=x2+2x|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x,x<-1}\\{{3x}^{2}+2x,x≥-1}\end{array}\right.$ 的圖象,
如圖所示:
(2)由題意,對(duì)任意x∈[1,2],f(x)<g(x),
即f(x)+x<14恒成立,
只需[f(x)+x)]max<14.
另一方面,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax,x<a}\\{{3x}^{2}-2ax,x≥a}\end{array}\right.$.
當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均遞增,∵f(a)=a2,則f(x)在R上遞增,
當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(-∞,a)和($\frac{a}{3}$,+∞)上遞增,在(a,$\frac{a}{3}$)上遞減,
故f(x)在x∈[1,2]上恒單調(diào)遞增,從而y=f(x)+x在x∈[1,2]上也恒單調(diào)遞增,
則[f(x)+x]max=f(2)+2=4+4|2-a|+2<14,即|2-a|<2,解得0<a<4,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,4).
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象,函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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A. | 充分且不必要條件 | B. | 必要且不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既非充分也非必要條件 |
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A. | 3,3 | B. | 4,3 | C. | 6,3 | D. | 8,3 |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | 2 | D. | -2 |
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