分析 (1)利用橢圓的定義,求頂點A的軌跡G的方程;
(2)由題意設(shè)關(guān)于直線y=2x+m對稱的點為A,B,則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x$+n,聯(lián)立橢圓方程與直線方程,由判別式大于0求得n的范圍,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的中點C的坐標(biāo),再分別代入兩條直線方程,得到n與m的關(guān)系,再由n的范圍求得m的范圍.
解答 解:(1)由題意,|AB|+|AC|=2|BC|=4>|BC|,
∴頂點A的軌跡G是以B,C為焦點的橢圓(除去A,B,C共線),且a=2,c=1,
∴b=$\sqrt{3}$,
∴頂點A的軌跡G的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1(x≠±2);
(2)解:設(shè)關(guān)于直線y=2x+m對稱的點為A,B,則AB的方程為y=-$\frac{1}{2}x$+n,
與橢圓方程聯(lián)立,消去y整理得:4x2-4nx+4n2-12=0.
即x2-nx+(n2-3)=0.
由△=n2-4n2+12>0,得-2<n<2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=n,x1x2=n2-3,
再設(shè)AB的中點為C(x0,y0),
則x0=$\frac{n}{2}$,
又C在y=-$\frac{1}{2}x$+n上,得y0=$\frac{3}{4}$n,
C在y=2x+m上,得$\frac{3}{4}$n=2×$\frac{n}{2}$+m,即n=-4m.
則-2<-2m<2,得-$\frac{1}{2}$<m<$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查橢圓方程,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了存在性問題的求解方法,訓(xùn)練了點關(guān)于線的對稱點的求法,是中檔題.
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A. | $\frac{49π}{12}$ | B. | $\frac{35π}{6}$ | C. | $\frac{25π}{6}$ | D. | $\frac{17π}{4}$ |
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A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1) | C. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | D. | (0,$\frac{\sqrt{6}}{3}$] |
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