Question

4．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=2$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．若$\overrightarrow e$為平面單位向量，$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 6
• C． $\sqrt{7}$
• D． 7

Answer 1

分析 由已知求出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角，設(shè)出$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（1，\sqrt{3}）$，再設(shè)$\overrightarrow{e}=（cosθ，sinθ）$，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．

解答 解：由$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=2$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．
得cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=60°$，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（1，\sqrt{3}）$，再設(shè)$\overrightarrow{e}=（cosθ，sinθ）$，
∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$=（2，$\sqrt{3}$）•（cosθ，sinθ）=$\sqrt{3}sinθ+2cosθ$
=$\sqrt{7}sin（θ+α）$，（tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$的最大值為$\sqrt{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由題意設(shè)出向量的坐標(biāo)起到事半功倍的效果，是中檔題．