【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E為BB1中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥D1E;
(2)求DE與平面AD1E所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:連接BD
∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體,
∴D1D⊥平面ABCD,
又AC平面ABCD
∴D1D⊥AC
在長方形ABCD中,AB=BC
∴BD⊥AC
又BD∩D1D=D
∴AC⊥平面BB1D1D,
而D1E平面BB1D1D
∴AC⊥D1E
(2)解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,則A(1,0,0),D1(0,0,2),E(1,1,1),B(1,1,0),
設(shè)平面AD1E的法向量為 ,則 ,
令z=1,則
∴cos< , >= =
∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為
【解析】(1)根據(jù)已知中長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn),結(jié)合長方體的幾何特征,我們可得D1D⊥AC,BD⊥AC,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AC⊥平面BB1D1D,即可得出結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AD1E的法向量,利用向量的夾角公式,即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)是曲線圖象上的兩個相異的點(diǎn),若直線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)且,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科技公司生產(chǎn)一種手機(jī)加密芯片,其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于為合格品,小于為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這種芯片共件進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:
測試指標(biāo) | |||||
芯片數(shù)量(件) |
已知生產(chǎn)一件芯片,若是合格品可盈利元,若是次品則虧損元.
(Ⅰ)試估計(jì)生產(chǎn)一件芯片為合格品的概率;并求生產(chǎn)件芯片所獲得的利潤不少于元的概率.
(Ⅱ)記為生產(chǎn)件芯片所得的總利潤,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實(shí)數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在處的切線與直線平行.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù);
(2)證明:當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市共有初中學(xué)生270000人,其中初一年級,初二年級,初三年級學(xué)生人數(shù)分別為99000,90000,81000,為了解該市學(xué)生參加“開放性科學(xué)實(shí)驗(yàn)活動”的意向,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為3000的樣本,那么應(yīng)該抽取初三年級的人數(shù)為( )
A.800
B.900
C.1000
D.1100
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中, 平面是的中點(diǎn), 是上的點(diǎn)且為邊上的高.
(1)證明: 平面;
(2)若,求三棱錐的體積;
(3)在線段上是否存在這樣一點(diǎn),使得平面?若存在,說出點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn),且點(diǎn)都不在 軸上.
(1)若,求證: 直線和的斜率之積為定值;
(2)若橢圓長軸長為,點(diǎn)在橢圓上,設(shè)是橢圓上異于點(diǎn)的任意兩點(diǎn),且.問直線是否過一個定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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