Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，與過F₁的直線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為16，那么橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出橢圓的圖形分析可得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=16，解可得a的值，又由其離心率可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解可得c的值，計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖：
△ABF₂的周長為16，則有|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=16，則a=4，
又由其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=16-8=8；
又由其焦點(diǎn)在x軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由△ABF₂的周長求出a的值．屬于中檔題．