如圖，已知圓E ，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）點(diǎn)，，點(diǎn)G是軌跡上的一個動點(diǎn)，直線AG與直線相交于點(diǎn)D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（1）點(diǎn)Q的軌跡的方程為為．（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．

解析試題分析：（1）連結(jié)QF，由于線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）直線與圓的位置關(guān)系一般通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來確定． 由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，由此可得圓心和半徑.下面用k表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線GF方程為，進(jìn)而求到圓心到直線GF的距離便可知道以BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系．
（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，
則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．             .2分
設(shè)其方程為，可知，，則，         ..3分
所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為為． 4分
（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 5分

由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，BD的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為．
聯(lián)立方程組消去y得，
設(shè)，則，
所以，， 7分
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
直線GF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓與直線GF相切． 9分
當(dāng)時(shí)，則直線GF的斜率為，則直線GF方程為，
點(diǎn)H到直線GF的距離，又，
所以圓心H到直線GF的距離，此時(shí)，以BD為直徑的圓與直線GF相切．
綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 13分
考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關(guān)系；3、最值問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過定點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y = -3上，M點(diǎn)滿足， ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，恰是拋物線C2：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點(diǎn)N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

長方形中，，．以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

(1) 求以、為焦點(diǎn)，且過、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過點(diǎn)的直線交(1)中橢圓于兩點(diǎn)，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過準(zhǔn)線上一點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點(diǎn)）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點(diǎn)，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點(diǎn)是圓劣弧上一動點(diǎn)（點(diǎn)異于端點(diǎn)，），直線分別交線段，橢圓于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：..，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個動點(diǎn)．
（1）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C1相交于點(diǎn)A、D，與曲線C2順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案