Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2ρ²-ρ²cos2θ=12．若曲線C的左焦點F在直線l上，且直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）求m的值并寫出曲線C的直角坐標方程；
（2）求$\frac{{|{FA}|}}{{|{FB}|}}+\frac{{|{FB}|}}{{|{FA}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標方程為2ρ²-ρ²cos2θ=12．利用互化公式可得曲線C的直角坐標方程，可得其左焦點，即可得出m．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\end{array}}\right.$，與曲線C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-y=m．
曲線C的極坐標方程為2ρ²-ρ²cos2θ=12．可得曲線C的直角坐標方程：2（x²+y²）-（x²-y²）=12，
∴曲線C的標準方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，則其左焦點為$（{-2\sqrt{2}，0}）$，
故$m=-2\sqrt{2}$，曲線C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'}\end{array}}\right.$，與曲線C的方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立，
得t'²-2t'-2=0，則|FA|•|FB|=|t'₁t'₂|=2，
$|{FA}|+|{FB}|=|{{{t'}_1}-{{t'}_2}}|=\sqrt{{{（{{{t'}_1}+{{t'}_2}}）}^2}-4{{t'}_1}{{t'}_2}}=2\sqrt{3}$，
故$\frac{{|{FA}|}}{{|{FB}|}}+\frac{{|{FB}|}}{{|{FA}|}}=\frac{{{{（{|{FA}|+|{FB}|}）}^2}}}{{|{FB}|•|{FA}|}}-2=4$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．