Question

2．函數(shù)$f（x）=ax-\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，4）
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，5）
• D． （-∞，5]

Answer 1

分析 要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，我們可以轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間于對稱軸的關(guān)系來解答也可達到目標．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=ax-\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$，在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴f′（x）=-$\frac{4}{x}$-x+a=$\frac{-{x}^{2}+ax-4}{x}$，
由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得-x²+ax-4≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立
可得△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{a-5≤0}\end{array}\right.$，即a²-16≤0或a≤2．
解得-4≤a≤4或a≤2，
故a的取值范圍為：（-∞，4]．
故選：B．

點評 本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導數(shù)來解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，等數(shù)學思想與方法．