Question

14．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示：
（1）求這個(gè)幾何體的體積；
（2）若該幾何體的表面積為球O表面積的$\frac{7}{4}$ 倍，求球O內(nèi)接正方體的表面積．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，然后由體積公式求解；
（2）求出組合體的表面積，進(jìn)一步得到球的表面積，從而求得球內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)，則球O內(nèi)接正方體的表面積可求．

解答 解：（1）由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體．
且圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，圓柱底面半徑為1，高為2．
則圓錐的高為$\sqrt{3}$，
∴幾何體的體積為$\frac{1}{3}×π×\sqrt{3}+2π=\frac{6+\sqrt{3}}{3}π$；
（2）幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積+圓柱的側(cè)面積+圓柱的下底面積．
等于π×1×2+2π×1×2+π×1²=7π．
∴球O的表面積為4π，
設(shè)球的半徑為R，則由4π×R²=4π，得R=1．
∴球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2，則棱長(zhǎng)為a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴正方體的表面積為6a²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柱、錐、臺(tái)體的體積與表面積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．