Question

4．（1）用分析法證明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$
（2）已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求證：a，b，c，全為正數(shù)．

Answer 1

分析 （1）尋找使不等式成立的充分條件，利用同解變形，轉(zhuǎn)化證明42＞40．推出結(jié)論．
（2）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．于是考慮采用反證法．假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，這時需要逐個討論a，b，c不是正數(shù)的情形．但注意到條件的特點（任意交換a，b，c的位置不改變命題的條件），我們只要討論其中一個數(shù)（例如a），其他兩個數(shù)（例如b，c）與這種情形類似．

解答 證明：（1）要證：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，只要證 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即證 42＞40．  而 42＞40  顯然成立，
故原不等式成立．
（2）假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，即其中至少有一個不是正數(shù)．
不妨先設(shè)a≤0．下面分a=0和a＜0兩種情況討論．
如果a=0，則abc=0，與abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因為a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
這和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
綜上所述，a＞0．
同理可證b＞0，c＞0．
所以原命題成立．

點評 （1）本題考查用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．（2）當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證．反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實矛盾等方面．反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．