18.如圖在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1D1和CC1的中點.
(1)求證:EF∥平面ACD1
(2)求EF與平面CC1D1D所成角的余弦值.

分析 (1)建立坐標系,取BC1中點G,證明$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{{A}_{1}G}$共線共線,可得EF∥A1G,即可證明EF∥平面A1C1B;
(2)求出平面CC1D1D的法向量,用數(shù)量積公式求夾角余弦即可.

解答 (1)證明:如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz,由已知得D(0,0,0)、A1(2,0,2)、B(2,2,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、D1(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1).
取BC1中點G,則G(1,2,1),$\overrightarrow{{A}_{1}G}$=(-1,2,-1),
又$\overrightarrow{EF}$=(-1,2,-1),∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{{A}_{1}G}$,
∴$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{{A}_{1}G}$共線,∴EF∥A1G,
∵A1G?平面A1C1B,EF?平面A1C1B,
∴EF∥平面A1C1B;
(2)解:平面CC1D1D的法向量為(2,0,0),
∴EF與平面CC1D1D所成角的正弦值=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+4+1}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴EF與平面CC1D1D所成角的余弦值=$\frac{\sqrt{30}}{6}$.

點評 本題考查用向量法證明線面平行,求EF與平面CC1D1D所成角的余弦值,用向量方法解決立體幾何中的位置關系、夾角及距離問題是空間向量的一個重要運用,

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