13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖,E是棱AA1上動點,過點D1,E,B作該正方體的截面與棱CC1交于點F.設(shè)AE=x,則下列關(guān)于四棱錐B1-BFD1E的命題,其中正確的序號有③④
①底面BFD1E的面積隨著x增大而增大;
②四棱錐B1-BFD1E的體積隨著x增大先增大后減少;
③底面BFD1E的面積隨著x增大先減少后增大;
④四棱錐B1-BFD1E的體積與x取值無關(guān),且總保持恒定不變.

分析 設(shè)正方體的棱長為a,由圖形可知,當(dāng)x=0或x=a時,四邊形BFD1E的面積取得最大值為$\sqrt{2}{a}^{2}$,當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時,四邊形BFD1E的面積有最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$,由此判斷①錯誤,③正確;再利用等積法證明四棱錐B1-BFD1E的體積與x取值無關(guān),說明②錯誤,④正確.

解答 解:由圖可知,四邊形BFD1E是平行四邊形,
設(shè)正方體的棱長為a,AE=x(0≤x≤a),
則當(dāng)x=0或x=a時,四邊形BFD1E的面積取得最大值為$\sqrt{2}{a}^{2}$,
當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時,四邊形BFD1E的面積有最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$.
∴①錯誤,③正確;
四棱錐B1-BED1F的體積等于${V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}E}+{V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}F}$,
∵三角形BB1E的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$為定值,三棱錐D1-BB1E的高D1C1=a,
三角形BB1F的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$為定值,三棱錐D1-BB1F的高為D1A1=a,
∴三棱錐D1-BB1E和三棱錐D1-BB1F體積為定值,
即四棱錐B1-BED1F的體積為定值,
∴②錯誤,④正確.
∴正確命題的序號是③④.
故答案為:③④.

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了利用等積法求多面體的體積,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.

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(2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
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