9.已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)分別是橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點,且橢圓C過點(-$\sqrt{3}$,1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過橢圓C的右焦點F2且斜率為1與橢圓C交于A,B兩點,求弦AB的長;
(3)以第(2)題中的AB為邊作一個等邊三角形ABP,求點P的坐標(biāo).

分析 (1)由已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)寫出直線l的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用弦長公式求得弦AB的長;
(3)設(shè)AB的中點為M(x0,y0),由中點坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo),寫出AB的中垂線方程,得到P的坐標(biāo),由MP得長度與AB長度的關(guān)系列式即可解得點P的坐標(biāo).

解答 解:(1)由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$,解得a2=6,b2=2.
∴橢圓C的方程的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$;
(2)由(1)知,F(xiàn)2(2,0),則直線l的方程為y=x-2,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,得2x2-6x+3=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則${x}_{1}+{x}_{2}=3,{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$,
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{3}^{2}-4×\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$;
(3)設(shè)AB的中點為M(x0,y0).
∵x1+x2=3=2x0,∴${x}_{0}=\frac{3}{2}$,
∵y0=x0-2,∴${y}_{0}=\frac{1}{2}$.
線段AB的中垂線l1斜率為-1,∴l(xiāng)1:y=-x+1,
設(shè)P(t,1-t),∴|MP|=$\sqrt{(t-\frac{3}{2})^{2}+(\frac{3}{2}-t)^{2}}$=$\sqrt{2}|t-\frac{3}{2}|$|,
當(dāng)△ABP為正三角形時,|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|,
得$\sqrt{2}|t-\frac{3}{2}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$,解得t=0或3.
∴P(0,1),或P(3,-2).

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查弦長公式的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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19.tan17°+tan28°+tan17°tan28°等于( 。
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20.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖,下列說法正確的是④ (只填序號)
①函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值-1
②函數(shù)f(x)在x=0和x=1處取得極值
③函數(shù)f(x)在(-∞,1)上是單調(diào)遞減函數(shù),在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)
④函數(shù)f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)
⑤函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,在x=2處取得極大值.

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17.如圖①,四邊形ABCD為等腰梯形,AE⊥CD,AB=AE=$\frac{1}{3}$CD,F(xiàn)為EC的中點,現(xiàn)將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置,如圖②,且平面PAE⊥面ABCE.

(1)求證:面PAF⊥面PBE
(2)求直線PF與平面PBC所成角的正弦值.

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4.已知x=1是$f(x)=2x+\frac{x}+lnx$的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)$g(x)=f(x)-\frac{3+a}{x}$,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

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14.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π)的極小值點的個數(shù)為( 。
A.1007B.1008C.2015D.2016

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1.已知函數(shù)f(x)=lnx-$\frac{1}{2}$a(x-1)(a∈R).
(Ⅰ)若a=-2,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若不等式f(x)<0對任意x∈(1,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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18.如圖在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1D1和CC1的中點.
(1)求證:EF∥平面ACD1
(2)求EF與平面CC1D1D所成角的余弦值.

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19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$ax2+bx在區(qū)間[-1,1)、(1,3]內(nèi)各有一個極值點,則a-4b的取值范圍是(-16,10].

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