Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn)A（-4，0）的直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D（0，2），又橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓Q與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)B，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂，求圓Q的方程，并判斷圓Q與圓x²+y²=a²的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程消元，令△=0得出a，b的關(guān)系，結(jié)合e=$\frac{1}{2}$求出a，b；
（2）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得出BF₂的中垂線(xiàn)方程和直線(xiàn)BQ的方程，聯(lián)立方程組求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算圓的半徑，得出圓Q的方程，比較圓心距與兩圓半徑的大小關(guān)系得出兩圓的位置關(guān)系．

解答 解：（1）直線(xiàn)l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+2，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，消元得（$\frac{1}{4}{a}^{2}+^{2}$）x²+2a²x+4a²-a²b²=0，
∵直線(xiàn)l與橢圓相切，∴△=4a⁴-4（$\frac{1}{4}{a}^{2}+^{2}$）（4a²-a²b²）=0，
即a²+4b²-16=0．①
∵e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴b²=$\frac{3}{4}{a}^{2}$，②
由①②可得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可得4x²+8x+4=0，解得x=-1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得y=$\frac{3}{2}$，
∴B（-1，$\frac{3}{2}$），又F₂（1，0），∴BF₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{4}$），K${\;}_{B{F}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直線(xiàn)BQ的方程為y-$\frac{3}{2}$=-2（x+1），即y=-2x-$\frac{1}{2}$．
BF₂的中垂線(xiàn)方程為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{3}{4}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{4}{3}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{8}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{4}$），圓Q的半徑為|QF₂|=$\sqrt{（-\frac{3}{8}-1）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{8}$，
∴圓Q的方程為（x+$\frac{3}{8}$）²+（y-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{125}{64}$．
∵|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{8}$，∴2-$\frac{5\sqrt{5}}{8}$＜OQ＜2+$\frac{5\sqrt{5}}{8}$，
∴圓Q與圓x²+y²=a²相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．