Question

13．設(shè)x、y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，則x²+y²的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義求最小值．

解答 解：設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方．
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離最�。�
由點(diǎn)到直線的距離公式得d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以z=x²+y²的最小值為z=d²=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決線性規(guī)劃內(nèi)容的基本方法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．