Question

3．已知x²+y²=4，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個(gè)數(shù)分別為x，a，b，c，y，推導(dǎo)出$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．從而等差數(shù)列后三項(xiàng)和為$\frac{3}{4}（x+3y）$．
法一：設(shè)x=2cosα，y=2sinα，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值．
法二：令z=x+3y，則x+3y-z=0，當(dāng)直線x+3y-z=0與圓x²+y²=4相切時(shí)z將有最大值，由此能求出這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值．

解答 解：設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個(gè)數(shù)分別為x，a，b，c，y，
則x+y=a+c=2b，
∴$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．
則等差數(shù)列后三項(xiàng)和為$b+c+y=\frac{x+y}{2}+\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}+y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}y$=$\frac{3}{4}（x+3y）$．
（另解：由等差數(shù)列的性質(zhì)有x+y=a+c=2b，所以$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．）
方法一：因?yàn)閤²+y²=4，設(shè)x=2cosα，y=2sinα，
所以$b+c+y=\frac{3}{4}（2cosα+6sinα）=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}sin（α+φ）≤\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．
方法二：令z=x+3y，則x+3y-z=0，
所以當(dāng)直線x+3y-z=0與圓x²+y²=4相切時(shí)z將有最大值，
此時(shí)$d=\frac{|z|}{{\sqrt{10}}}=2⇒|z|=2\sqrt{10}$，
即${|z|_{max}}=2\sqrt{10}$，∴${（b+c+y）_{max}}=\frac{3}{4}×2\sqrt{10}=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的后三項(xiàng)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．