Question

12．設(shè)函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）是減函數(shù)，且圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），則不等式（x-1）f（x）≤0的解集為（-∞，0]∪[1，2]．

Answer 1

分析 由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)f（x）的對(duì)稱性，由圖象平移、f（x+1）的單調(diào)性、f（x）法對(duì)稱性判斷出f（x）的單調(diào)性，結(jié)合條件畫(huà)出f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象，求出不等式（x-1）f（x）≤0的解集．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
∴f（x+1）=f（-x+1），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∵函數(shù)y=f（x+1）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，
在（1，+∞）上是增函數(shù)，
則由f（2）=0得f（0）=0，如圖所示：
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）≤0=f（2），解得1＜x≤2
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≥0=f（0），得x≤0，即x≤0，
同時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）f（x）≤0也成立；
綜上，等式（x-1）f（x）≤0的解集是（-∞，0]∪[1，2]，
故答案為：（-∞，0]∪[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用，函數(shù)圖象的平移，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，屬于中檔題．