Question

4．已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，1）．試求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將點(diǎn)（2，1）代入，由a＞b，得a的不等式，由此能求出該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的范圍．

解答 解：不妨設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
將點(diǎn)（2，1）代入得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
因?yàn)閍為半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，即a＞b，
所以$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}$＜1，
所以a²＞5，解得a＞$\sqrt{5}$，
故該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的范圍是：（$2\sqrt{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．