1.如圖,已知平面ABC⊥平面BCDE,△DEF與△ABC分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,AC∥DF,四邊形BCDE為直角梯形,DE∥BC,BC⊥CD,CD=1,點(diǎn)G為△ABC的重心,N為AB中點(diǎn),$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$(λ∈r,λ>0),
(Ⅰ)當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時(shí),求證:GM∥平面DFN
(Ⅱ)若直線MN與CD所成角為$\frac{π}{3}$,試求二面角M-BC-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時(shí),連AG延長(zhǎng)交BC于P,證明GM∥PF,P,D,F(xiàn),N四點(diǎn)共面,即可證明:GM∥平面DFN
(Ⅱ)若直線MN與CD所成角為$\frac{π}{3}$,以P為原點(diǎn),PC為x軸,PE為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式求二面角M-BC-D的余弦值.

解答 (Ⅰ)證明:連AG延長(zhǎng)交BC于P,
因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心,所以$\frac{AG}{AP}$=$\frac{2}{3}$--------------------(1分)
又$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$,λ=$\frac{2}{3}$,所以$\frac{AG}{AP}$=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{2}{3}$,所以GM∥PF;----------(2分)
因?yàn)锳C∥DF,DE∥BC,所以平面ABC∥平面DEF,
又△DEF與△ABC分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,N為AB中點(diǎn),P為BC中點(diǎn),所以NP∥AC,
又AC∥DF,------------(3分)
所以NP∥DF,得P,D,F(xiàn),N四點(diǎn)共面
∴GM∥平面DFN-----------------------------------------------(5分)
(Ⅱ)平面ABC⊥平面BCDE,易得平面DEF⊥平面BCDE,
以P為原點(diǎn),PC為x軸,PE為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(1,0,0),D(1,1,0),A(0,0,$\sqrt{3}$),F(xiàn)($\frac{1}{2}$,1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),B(-1,0,0),N(-$\frac{1}{2}$,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),----(7分)
設(shè)M(x,y,z),
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$,∴M($\frac{λ}{2}$,λ,$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}λ$),$\overrightarrow{NM}$=($\frac{λ+1}{2}$,λ,$\frac{\sqrt{3}}{2}(1-λ)$),$\overrightarrow{CD}$=(0,1,0)
因?yàn)镸N與CD所成角為$\frac{π}{3}$,所以$\frac{λ}{\sqrt{(\frac{λ+1}{2})^{2}+{λ}^{2}+\frac{3}{4}(1-λ)^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,----------------(9分)
得2λ2+λ-1=0,∴λ=$\frac{1}{2}$,∴M($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$),
設(shè)平面MBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),$\overline{BC}$=(2,0,0),$\overrightarrow{BM}$=($\frac{5}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$),
則$\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{\frac{1}{2}b+\frac{3\sqrt{3}}{4}c=0}\end{array}\right.$,取$\overrightarrow{n}$=(0,3$\sqrt{3}$,-2),
面BCD的法向量$\overrightarrow{v}$=(0,0,1),所以二面角M-BC-D的余弦值=$\frac{|-2|}{\sqrt{31}}$=$\frac{2\sqrt{31}}{31}$-----------------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角M-BC-D的余弦值,考查向量方法的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,下列說法正確的是( 。
A.若K2的觀測(cè)值為k=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病
B.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤
C.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病
D.以上三種說法都不正確

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.設(shè)函數(shù)y=f(x+1)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)是減函數(shù),且圖象過點(diǎn)(1,0),則不等式(x-1)f(x)≤0的解集為(-∞,0]∪[1,2].

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9.已知f($\frac{1-x}{1+x}$)=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$,則f(x)的解析式可取為(  )
A.$\frac{x}{1+{x}^{2}}$B.-$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$C.$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$D.-$\frac{x}{1+{x}^{2}}$

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16.已知在三角形ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°,$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$,若P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是( 。
A.[-1,3]B.$[{-\frac{2}{3},3}]$C.$[{-\frac{2}{3},\frac{10}{3}}]$D.$[{-1,\frac{10}{3}}]$

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6.以下四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
①“若a+b≥2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題
②?α0,β0∈R,使得sin(α00)=sinα0+sinβ0
③若a∈R,則“$\frac{1}{a}$<1”是“a>1”的必要不充分條件24
④命題“?x0∈R,x02+2x0+3<0”的否定是“?x∈R,x2+2x+3>0”
A.0B.1C.2D.3

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13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差為2,且a1,S2,S4成等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于(  )
A.2n+1B.2n-3C.2n-1D.2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)-1(A>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的圖象兩相鄰對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$,且f(x)≤$f(\frac{π}{6})$=1(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈$[0,\frac{π}{2}]$時(shí),求f(x)的取值范圍.

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2.已知函數(shù)f(x)=$\frac{ln({x}^{2}-2x+a)}{x-1}$.
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若f(x)的定義域?yàn)椋?∞,1)∪(1,+∞).
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②若關(guān)于x的不等式f(x)<(x-1)•ex對(duì)任意的x∈(1,+∞)都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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