20.已知f(x)=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,A為銳角且f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,D為BC中點(diǎn),AD=3,AB=$\sqrt{3}$,求AC的長(zhǎng).

分析 (1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin(ωx+φ)的形式,將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求解出A的值,D為BC中點(diǎn),AD=3,AB=$\sqrt{3}$,利用余弦定理求AC的長(zhǎng).

解答 解:(1)由題可知f(x)=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
化簡(jiǎn)可得:f(x)=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin(2x-$\frac{π}{3}$).
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$,(k∈Z),
解得:$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}$,$kπ+\frac{5π}{12}$],(k∈Z),
(2)在△ABC中,A為銳角,
f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,即sin(2A-$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
解得:A=$\frac{π}{3}$
又因?yàn)镈為BC中點(diǎn),以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC,
因?yàn)锳D=3,所以:AE=6,在△ABE中,AB=$\sqrt{3}$,∠ABE=120°
由余弦定理可知:,cos∠ABE=cos120°=$\frac{3+B{E}^{2}-36}{2\sqrt{3}•BE}$,
解得:AC=BE=$\frac{3\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及恒等變換公式的應(yīng)用,還有解三角形的內(nèi)容,屬于中檔題.

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10.球O1的內(nèi)接正方體的體積V1與球O2的內(nèi)接正方體V2的體積之比為64:125,則球O1與球O2的表面積之比為16:25.

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11.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中,下列說(shuō)法正確的是( 。
A.若K2的觀測(cè)值為k=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病
B.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤
C.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說(shuō)某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病
D.以上三種說(shuō)法都不正確

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8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿(mǎn)足x2+2y2+3z2=4,設(shè)T=xy+yz,則T的取值范圍是( 。
A.[$-\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{3}$]B.[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]C.[$-\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$]D.[$-\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]

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15.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2,a1+a4=a5,若Sn>32,則n的最小值為( 。
A.3B.4C.5D.6

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5.對(duì)于集合{a1,a2,…,an}和常數(shù)a0,定義:w=$\frac{sin({a}_{1}-{a}_{0})^{2}+sin({a}_{2}-{a}_{0})^{2}+…+sin({a}_{n}-{a}_{0})^{2}}{n}$為集合{a1,a2,…,an}相對(duì)于a0的“正弦方差”,則集合{$\frac{π}{2}$,$\frac{5π}{6}$,$\frac{7π}{6}$}相對(duì)a0的“正弦方差”為(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{{a}_{0}}{4}$D.$\frac{{a}_{0}}{3}$

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12.設(shè)函數(shù)y=f(x+1)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)是減函數(shù),且圖象過(guò)點(diǎn)(1,0),則不等式(x-1)f(x)≤0的解集為(-∞,0]∪[1,2].

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈$[0,\frac{π}{2}]$時(shí),求f(x)的取值范圍.

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