Question

1．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，其一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合；過點M（1，1）且斜率為$-\frac{1}{2}$的直線交橢圓C于A、B兩點，且M是線段AB的中點，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出拋物線y²=8x的焦點為（2，0），可得橢圓C的焦點在x軸上，且c=2，可以設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則a²-b²=4，①；由點差法進(jìn)行分析：設(shè)出A、B的坐標(biāo)，代入橢圓的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=②}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1③}\end{array}\right.$，②-③可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$，④，再結(jié)合直線的斜率以及A、B的中點坐標(biāo)，計算可得a²的值，結(jié)合a²-b²=4可得b²的值，將a²、b²的值代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=8x的焦點為（2，0），則橢圓C的焦點在x軸上，且c=2，
可以設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則a²-b²=4，①
設(shè)A點坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點坐標(biāo)為（x₂，y₂），
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=②}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1③}\end{array}\right.$，
②-③可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$，④
又由直線AB的斜率為$-\frac{1}{2}$，則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
AB的中點M的坐標(biāo)為（1，1），則x₁+x₂=2、y₁+y₂=2，
代入④中，可得a²=8，
又由a²-b²=4，則b²=8，
故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及中點弦問題可以用點差法．