Question

9．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)． 
（1）求證：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）在棱DD₁上是否存在一點(diǎn)P，使得BD₁∥平面PMN，若存在，求D₁P：PD的比值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，又由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，易得MN∥AC，則MN⊥BD．BB₁⊥MN，由線面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，進(jìn)而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）設(shè)MN與BD的交點(diǎn)是Q，連接PQ，PM，PN，由線面平行的性質(zhì)定理，我們易由BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，得BD₁∥PQ，再由平行線分線段成比例定理，得到線段DP與PD₁的比．

解答 （1）證明：連接AC，則AC⊥BD，又M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁⊥平面ABCD，∵M(jìn)N?平面ABCD，∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵M(jìn)N?平面B₁MN，∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）解：設(shè)MN與BD的交點(diǎn)是Q，連接PQ，
∵BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，
∴BD₁∥PQ，PD₁：DP=1：3

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質(zhì)，其中熟練掌握空間線面關(guān)系的判定、性質(zhì)、定義，建立良好的空間想像能力是解答此類問題的關(guān)鍵．