Question

4．已知F為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)，A是橢圓的短軸的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，且AF⊥AB，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線x+my+3=0相切，則m的值為（　�。�

• A． ±3
• B． $\sqrt{3}$
• C． ±$\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)B，則圓心C（$\frac{x-1}{2}$，0），半徑為r=$\frac{x+1}{2}$，利用勾股定理求得x的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得m的值．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)（-1，0），設(shè)B（x，0），
由AF⊥AB，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓C，圓心C（$\frac{x-1}{2}$，0），半徑為r=$\frac{x+1}{2}$，
在△AOC中，由丨AO丨²+丨OC丨²=丨AC丨²=r²，即（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{x-1}{2}$）²=（$\frac{x+1}{2}$）²，
解得：x=3，
則C（1，0），半徑為2，
由題意可知：圓心到直線x+my+3=0距離d=$\frac{丨1+m×0+3丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=2，解得：m=±$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．