Question

13．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在區(qū)間[-3，3]上至多有9個零點，則a=20-8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用f（x）的周期與對稱性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零點個數(shù)可得y=ax與f（x）在（2，3）上的圖象相切，根據(jù)斜率的幾何意義列方程組解出a．

解答 解：f（2）=-4×2²+12×2-8=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期為4．
作出f（x）在[-3，3]上的函數(shù)圖象，如圖所示：

令g（x）=0得f（x）=a|x|，
∴當(dāng)x＞0時，y=ax與y=f（x）在（2，3）上的函數(shù)圖象相切，
∵1＜x＜2時，f（x）=-4x²+12x-8，且f（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)-2＜x＜-1時，f（x）=-4x²-12x-8，
又f（x）周期為4，則當(dāng)2＜x＜3時，f（x）=-4（x-4）²-12（x-4）-8=-4x²+20x-24，
設(shè)y=ax與y=f（x）在（2，3）上的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{-8{x}_{0}+20=a}\\{-4{{x}_{0}}^{2}+20{x}_{0}-24={y}_{0}}\\{a{x}_{0}={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{6}$，a=20-8$\sqrt{6}$．
故答案為：$20-8\sqrt{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期性與對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．