Question

14．己知函數(shù)f（x）=a²+x²-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當a=e，b=4時，求函數(shù)f（x）零點個數(shù)
（Ⅱ）若b=1，求f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=e^x+2x-1，f′（0）=0，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，是（-∞，0）上的減函數(shù)，由此能求出f（x）的零點個數(shù)．
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，f（x）_max-f（x）_min≥e-1，f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）是[-1，0]上的減函數(shù)，[0，1]上的增函數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x+x²-x-4，
∴f′（x）=e^x+2x-1，∴f′（0）=0，
當x＞0時，e^x＞1，∴f′（x）＞0，故f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
當x＜0時，e^x＜1，∴f′（x）＜0，
故f（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)，…（3分）
f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，
∴存在x₁∈（1，2）是f（x）在（0，+∞）上的唯一零點，
$f（-2）=\frac{1}{{e}^{2}}+2＞0，f（-1）=\frac{1}{e}-2＜0$，
∴存在x₂∈（-2，-1）是f（x）在（-∞，0）上的唯一零點，
∴f（x）的零點個數(shù)為2…（6分）
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，f（x）_max-f（x）_min≥e-1，
f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
當x＞0時，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f′（x）＞0；
當x＜0時，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，
∴f'（x）＜0；當x=0時，f′（x）=0，
∴f（x）是[-1，0]上的減函數(shù)，[0，1]上的增函數(shù)..…（8分）
∴當x∈[-1，1]時，f（x）_min=f（0），f（x）_max為f（-1）和f（1）中的較大者.$而f（1）-f（-1）=a-\frac{1}{a}-2lna，設(shè)g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx（x＞0）$，∵${g}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}={（\frac{1}{x}-1）}^{2}≥0（當且僅當x=1時等號成立）$，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，
∴$當t＞1時，g（x）＞0即a＞1時，a-\frac{1}{a}-2lna≥0$，
∴f（1）＞f（-1）．…（10分）
∴f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1=e-lne，
設(shè)h（a）=a-lna（a＞1），∴h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，+∞）遞增，∴a≥e，即a的取值范圍是[e，+∞）．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．