Question

4．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinA，
（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：$sinB=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，即 $sin（A+C）=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，化簡(jiǎn)得：$tanA=\sqrt{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤4，故$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．

解答 解：（1）在三角形ABC中，因?yàn)?b=acosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinA$，
由正弦定理得：$sinB=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，即 $sin（A+C）=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$
化簡(jiǎn)得：$cosAsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$
因?yàn)閟inC≠0，所以$tanA=\sqrt{3}$
因?yàn)锳∈（0，π），所以A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）因?yàn)閍=2，$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+c²-bc≥2bc-bc，
即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
故$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
所以，當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，三角形的面積有最大值為$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理、三角形面積計(jì)算、不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．