Question

6．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}），sinβ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，sin（{α+β}）=\frac{7}{9}$，則sinα的值為$\frac{1}{3}$；$tan\frac{α}{2}$的值為3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知可求范圍α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（α+β），sinβ的值，利用角的關系α=（α+β）-β，根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式即可化簡求值，進而可求cosα，利用同角三角函數(shù)基本關系式，降冪公式即可計算得解$tan\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），…1分
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，…3分
∴cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=-$\frac{1}{3}$，…5分
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{7}{9}$×（-$\frac{1}{3}$）-（-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$．
∵cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$tan\frac{α}{2}$=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}-1}$=$\sqrt{\frac{2}{1+cosα}-1}$=3-2$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{1}{3}，3-2\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，降冪公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．