Question

11．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，且$cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}$．
（1）求A的值．            
（2）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$cos（B+C）=-\frac{1}{2}$，結合范圍0＜B+C＜π，可求$B+C=\frac{2π}{3}$，結合三角形內角和定理可求A的值．
（2）利用三角形面積公式可求bc=4，由余弦定理得c²+b²=8，聯立即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為$cosBcosC-sinBsinC=-\frac{1}{2}$，
所以$cos（B+C）=-\frac{1}{2}$，…（2分）
又因為0＜B+C＜π，
所以$B+C=\frac{2π}{3}$，…（4分）
因為A+B+C=π，
所以$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）因為△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，
所以bc=4，…（8分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得c²+b²=8，…（10分）
聯立$\left\{\begin{array}{l}bc=4\\{b^2}+{c^2}=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-2\end{array}\right.$，
因為b＞0，c＞0，
所以b=c=2．…（12分）

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，三角形面積公式，余弦定理，余弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．