如圖,底面為直角梯形的四棱錐中,AD∥BC,平面, ,BC=6.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)
解析試題分析:本題主要以四棱錐為幾何背景考察線面垂直和二面角的求法,可以用傳統(tǒng)幾何法,也可以用空間向量法,突出考察空間想象能力和計(jì)算能力,(Ⅰ)由平面,得到,要證明平面,只需證明,在中,,在中,,所以,又,,所以,可證平面;(Ⅱ)用向量法求解,先求出面和面的法向量,再利用夾角公式求夾角.
試題解析:(Ⅰ)方法一:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,, 2分
.,,
又, 面. 6分
方法二:由平面,∴,在中,,在中,,所以,又,,所以,又∵,面
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,
設(shè)平面的法向量為,
則 8分
解得.
令,則 10分
二面角的余弦值為. 12分
考點(diǎn):1、線面垂直的判定定理;2、向量法求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直, 分別是的中點(diǎn),,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求異面直線與所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于.
(1)求證:⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)證明:;
(3)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,平面平面,,是等邊三角形,已知.
(1)設(shè)是上的一點(diǎn),證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,在圓錐PO中, PO=,?O的直徑AB=2, C為弧AB的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:平面POD^平面PAC;
(2)求二面角B—PA—C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明 平面EDB;
(Ⅱ)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在三棱拄中,側(cè)面,已知,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試在棱(不包含端點(diǎn))上確定一點(diǎn)的位置,使得;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.
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