Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx$，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線$y=\frac{1}{2}x$
（1）求實(shí)數(shù)a的值
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f'（1）=-2，求出a的值；
（2）代入a，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∵f'（1）=-2，
∴a=$\frac{5}{4}$；
（2）f'（x）=$\frac{（x-5）（x+1）}{4{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（5，+∞），遞減區(qū)間為（0，5）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的概念和利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．