Question

15．已知函數(shù)f（x）=3|x-a|+|ax-1|，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）若對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=3|x-a|+|ax-1|=4|x-1|，即可寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，一定有f（-1）=f（1）⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立?對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，3]，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0，分類討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=3|x-a|+|ax-1|=4|x-1|，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，一定有f（-1）=f（1）⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|，解得a=0，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
（Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立?對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，3]，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0，
①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0恒成立，a∈R
②當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，原不等式等價(jià)于|ax-1|≥|（3x-3）|x-a|
令g（x）=|（3x-3）（x-a）|，h（x）=|ax-1|
當(dāng)a＞1時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$≤1，由ax-1=（3x-3）（a-x），即3x²-（2a+3）x-1+3a=0，△=（2a+3）²-12（-1+3a）=0，a=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$（另一根舍去），∴a＞$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$；
a=1時(shí)，不滿足h（3）＞g（3）；
0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{a}$＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即-3a-1≥6（3-a），解得a≥$\frac{19}{3}$，舍去；
a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a-1≥6（3-a），解得a≥$\frac{19}{9}$，舍去；
綜上所述a＞$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．