Question

2．橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的內(nèi)切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|y₁-y₂|的值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由已知求出橢圓的焦點分別為F₁（-3，0）、F₂（3，0），△ABF₂的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{1}{2}$，△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=5，再由△ABF₂的面積S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4|y₂-y₁|，由此能求出|y₁-y₂|的值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$中，a²=25且b²=16，
∴a=5，c=$\sqrt{25-16}=3$，
∴橢圓的焦點分別為F₁（-3，0）、F₂（3，0），
設(shè)△ABF₂的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△ABF₂的內(nèi)切圓周長為π，∴r=$\frac{1}{2}$，
根據(jù)橢圓的定義，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=20．
∴△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=$\frac{1}{2}$×20×$\frac{1}{2}$=5，
又∵△ABF₂的面積S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=4|y₂-y₁|（A、B在x軸的兩側(cè)），
∴4|y₁-y₂|=5，解得|y₁-y₂|=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查兩點縱坐標之差的絕對值的求法，考查橢圓性質(zhì)的合理運用，是中檔題．