Question

5．如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，BC⊥EB，EA⊥EB，M，N分別為AE，CD的中點，求證：
（1）直線MN∥平面EBC；
（2）直線EA⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （1）取BE的中點F，連接CF，MF，通過證明四邊形EFCN是平行四邊形得出MN∥CF，得出MN∥平面EBC；
（2）證明BC⊥平面EAB得出BC⊥AE，結(jié)合AE⊥EB得出EA⊥平面EBC．

解答 證明：（1）取BE的中點F，連接CF，MF，
∵M是AE的中點，F(xiàn)是BE的中點，
∴MF∥AB，MF=$\frac{1}{2}$AB，
又N是矩形ABCD的邊CD的中點，
∴NC∥AB，NC=$\frac{1}{2}$AB，
∴MF∥NC，MF=NC，
∴四邊形MNCF是平行四邊形，
∴MN∥CF，又MN?平面BCE，CF?平面EBC，
∴MN∥平面EBC．
（2）∵BC⊥AB，BC⊥EB，EB∩AB=B，AB?平面EAB，EB?平面EAB，
∴BC⊥平面EAB，又EA?平面EAB，
∴BC⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩BC=B，EB?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，屬于中檔題．