Question

8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$且$cosB=\frac{11}{14}$．
（1）求角A的大�。�
（2）若內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=14，求邊BC上的中線AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，代入已知等式可得3sinA=7sinC，由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求tanA，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．
（2）由（1）可求sinA，sinC，由正弦定理解得c，b的值，進(jìn)而在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．

解答 解：（1）在△ABC中，因?yàn)?cosB=\frac{11}{14}$，
所以$sinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．
代入$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$，化簡(jiǎn)可得3sinA=7sinC．
因?yàn)锳+B+C=π，
所以sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，化簡(jiǎn)得$tanA=-\sqrt{3}$．
因?yàn)?＜A＜π，
所以A=$\frac{2π}{3}$．
（2）因?yàn)?A=\frac{2π}{3}$，
所以$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，sinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，且a=14，
得：c=6，b=10，
在△ABD中，由余弦定理得：$A{D^2}=A{B^2}+B{D^2}-2AB×BD×cosB=36+49-2×6×7×\frac{11}{14}=19$，
所以：$AD=\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．