11.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{b(x+1)}{x}$,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2.
(I)求a、b的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),不等式f(x)>$\frac{(x-k)lnx}{x-1}$恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (I)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得f(1)=2b=2,f′(1)=a-b=0,解方程可得a,b;
(II)當(dāng)x>1時(shí),不等式f(x)>$\frac{(x-k)lnx}{x-1}$,即為(x-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$>(x-k)lnx,即(k-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$>0,令g(x)=(k-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$,求出導(dǎo)數(shù),令m(x)=x2+(k-1)x+1,討論①當(dāng)$\frac{1-k}{2}$≤1即k≥-1時(shí),②當(dāng)$\frac{1-k}{2}$>1即k<-1時(shí),求出單調(diào)性,即可得到k的范圍.

解答 解:(I)∵函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{b(x+1)}{x}$的導(dǎo)數(shù)為
f′(x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$,且直線y=2的斜率為0,又過(guò)點(diǎn)(1,2),
∴f(1)=2b=2,f′(1)=a-b=0,------------------------------------------------------(2分)
解得a=b=1--------------------------------------(3分)
(II)當(dāng)x>1時(shí),不等式f(x)>$\frac{(x-k)lnx}{x-1}$,即為(x-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$>(x-k)lnx,
即(k-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$>0----------(5分)
令g(x)=(k-1)lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$,g′(x)=$\frac{k-1}{x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+(k-1)x+1}{{x}^{2}}$,-----------(7分)
令m(x)=x2+(k-1)x+1,
①當(dāng)$\frac{1-k}{2}$≤1即k≥-1時(shí),m(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增且m(1)≥0,
所以當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,
則g(x)>g(1)=0即f(x)>$\frac{(x-k)lnx}{x-1}$恒成立.----------(9分)
②當(dāng)$\frac{1-k}{2}$>1即k<-1時(shí),m(x)在上(1,$\frac{1-k}{2}$)上單調(diào)遞減,
且m(1)<0,故當(dāng)x∈(1,$\frac{1-k}{2}$)時(shí),m(x)<0即g′(x)<0,
所以函數(shù)g(x)在(1,$\frac{1-k}{2}$)單調(diào)遞減,-----------------------------------(10分)
當(dāng)x∈(1,$\frac{1-k}{2}$)時(shí),g(x)<0與題設(shè)矛盾,
綜上可得k的取值范圍為[-1,+∞)----------------------------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程、單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查不等式恒成立問(wèn)題解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求直線MN與平面ACC1A1所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)].

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