1.已知x1,x2是方程ex-mx=0的兩解,其中x1<x2,則下列說法正確的是( 。
A.x1x2-1>0B.x1x2-1<0C.x1x2-2>0D.x1x2-2<0

分析 ①當m≤0時,檢驗不滿足條件;②當m>0時,利用導數(shù)求得f(x)的最小值為f(lnm)<0,可得m>e.不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$,可得f(2)=0,又 f(0)=1>0,f($\frac{1}{2}$)<0,可得x2=2,0<x1<$\frac{1}{2}$,從而得到x1•x2 <1.

解答 解:令f(x)=ex-mx,∴f′(x)=ex-m,
①當m≤0時,f′(x)=ex-m>0在x∈R上恒成立,
∴f(x)在R上單調遞增,不滿足f(x)=ex-mx=0有兩解;
②當m>0時,令 f′(x)=ex-m=0,即 ex-m=0,解得x=lnm,
∴在(-∞,lnm)上,f′(x)<0,故f(x)在(-∞,lnm)上單調遞減,
在(lnm,+∞)上,f′(x)>0,故f(x)在(lnm,+∞)上單調遞增.
∵函數(shù)f(x)=ex-mx有兩個零點x1<x2,∴f(lnm)<0,且m>0,
∴elnm-mlnm=m-mlnm<0,∴m>e.
不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$,可得f(2)=e2-2m=0,又 f(0)=1>0,f($\frac{1}{2}$)=$\sqrt{e}$-$\frac{m}{2}$<$\sqrt{e}$-$\frac{e}{2}$<0,
∴x2=2,0<x1<$\frac{1}{2}$,∴x1•x2 <1,
故選:B.

點評 本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值,研究函數(shù)的零點問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,對于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,注意導數(shù)的正負對應著函數(shù)的單調性,屬于中檔題.

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