Question

10．已知點F（1，0），動點M，N分別在x軸，y軸上運動，MN⊥NF，Q為平面上一點，$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow 0$，過點Q作QP平行于x軸交MN的延長線于點P．
（Ⅰ）求點P的軌跡曲線E的方程；
（Ⅱ）過Q點作x軸的垂線l，平行于x軸的兩條直線l₁，l₂分別交曲線E于A，B兩點（直線AB不過F），交l于C，D兩點．若線段AB中點的軌跡方程為y²=2x-4，求△CDF與△ABF的面積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$\overrightarrow{MN}=（{x，\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{NF}=（{1，-\frac{y}{2}}）$，利用$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{NF}=0$，可得求點P的軌跡曲線E的方程；
（Ⅱ）分類討論，求出相應(yīng)面積，即可求△CDF與△ABF的面積之比．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由N為Q，F(xiàn)的中點可得N為P，M的中點，則M，N分別為M（-x，0），$N（{0，\frac{y}{2}}）$$\overrightarrow{MN}=（{x，\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{NF}=（{1，-\frac{y}{2}}）$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{NF}=0$，可得點P的軌跡方程為：y²=4x
（2）設(shè)直線AB與x軸的交點G（a，0），設(shè)$A（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，$B（{\frac{y_2^2}{4}，{y_2}}）$
設(shè)A，B中點為M（x，y），
當AB與x軸不垂直時，由k_AB=k_MG可得$\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{y}{x-a}$
而$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=y$，則$\frac{4}{2y}=\frac{y}{x-a}$即y²=2（x-a），即a=2
當AB與x軸垂直時，A，B中點M與G（a，0）重合，適合方程．
由N為Q，F(xiàn)的中點，可知過Q點作x軸的垂線l即為y²=4x的準線，${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•2$，${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•|{a-1}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|•1$，
∴△CDF與△ABF的面積之比為2．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．