Question

5．已知離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若不過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m交橢圓E于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，設(shè)$a=\sqrt{2}n$，c=n，則b=n，橢圓E的方程為$\frac{x^2}{{2{n^2}}}+\frac{y^2}{n^2}=1$，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)解出即可；
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直線(xiàn)l：y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）因?yàn)?\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，所以設(shè)$a=\sqrt{2}n$，c=n，則b=n，橢圓E的方程為$\frac{x^2}{{2{n^2}}}+\frac{y^2}{n^2}=1$．
代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得$\frac{1}{{2{n^2}}}+\frac{1}{{2{n^2}}}=1$，n²=1，所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$得${x^2}+2（\frac{1}{2}{x^2}+\sqrt{2}mx+{m^2}）=2$，
即${x^2}+\sqrt{2}mx+{m^2}-1=0$，${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}m$，${x_1}•{x_2}={m^2}-1$…（6分）
△=2m²-4（m²-1）＞0，m²＜2．…（7分）
$|{BC}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{\frac{3}{2}[{2{m^2}-4（{m^2}-1）}]}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（4-2{m^2}）}$，
點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$，…（9分）
△ABC的面積$S=\frac{1}{2}|{BC}|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}（4-2{m^2}）}•\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}$…（11分）$≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{{m^2}+2-{m^2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)m²=2-m²，即m²=1時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)m=±1時(shí)，△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．