Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-x+k，且log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，a＞0，且a≠1
（1）求a，k的值；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，f（log_ax）有最小值？求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）先表示f（2），由log₂f（2）=2可求得k值；根據(jù)f（log₂a）=k可得a的方程，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得a值；
（2）由（1）知a=2，把f（log_ax）轉(zhuǎn)化為關(guān)于log₂x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+k，
∴f（2）=2+k，∴l(xiāng)og₂（2+k）=2，解得k=2；
∵f（log₂a）=k，∴l(xiāng)og₂a（log₂a-1）=0，
∵a＞0，且a≠1，∴l(xiāng)og₂a=1，解得a=2；
所以a=2，k=2，
（2）f（log_ax）=f（log₂x）=（log₂x）²-log₂x-2=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$．
所以當(dāng)log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)，f（log_ax）有最小值$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．